Verzweigungen bei Oliva porphyria

Seltenes Ereignis

Streifenmuster, Punktmuster, Wellenlinien: Solche Muster findet man auf einigen Schalen der vielen bekannten Arten tropischer Schnecken. Manche Muster sind jedoch außergewöhnlich. Zu ihnen zählen sicher die Verzweigungen, die uns die Schalen von Oliva porphyria präsentieren.

Modellierung

Das Modell baut auf dem Aktivator-Inhibitor-Mechanismus mit Michaelis-Menten-Kinetik auf. Die Zerfallsrate ist jedoch zeitlich nicht konstant: Sie wird durch einen dritten beteiligten, hormonähnlichen Stoff beeinflusst. Meinhardt betrachtet in Wie Schnecken sich in Schale werfen das folgende Modell auf der Basis von Zellen:

"In Abhängigkeit von der vorhandenen Aktivatorkonzentration produzieren die Zellen ein Hormon, das sich so schnell ausbreitet, dass seine Verteilung in allen Zellen homogen ist. (Aus dieser Annahme resultiert eine Unabhängigkeit der zugehörigen Differentialgleichung vom Ort.) Die Hormonkonzentration wirke auf die Zerfallsrate des Inhibitors, so dass diese zeitlich nicht konstant ist. Zum Zeitpunkt t ergibt sie sich durch , wobei c(t) die (nur von der Zeit abhängige) Hormonmenge ist. Diese wächst mit einer hohen Aktivatorkonzentration."

Mathematische Formulierung und Mustersimulation

Das verwendete System partieller Differentialgleichungen zur Simulation des Verzweigungsmusters von Oliva porphyria lautet wie folgt:

Dabei sind x₀ und x₁ die x-Koordinaten des linken bzw. rechten Randes des Zellenfeldes. Die Ortsunabhängigkeit der Differentialgleichung für das Hormon erlaubt es, sie bei Anwendung der Linienmethode außer Acht zu lassen und den neuen Wert c(t) nach Abschluss eine kompletten Rechenschrittes vorzunehmen. Damit man den Wert der Zerfallsrate des Hormones aber einfach im Parameterfenster einstellen kann, muss die Gleichung angemeldet sein, weshalb eine Pseudogleichung für c definiert wurde. Das ist wichtig zu wissen, wenn man sich hier einen Film von der Wachstumskante anschaut. Die unbewegliche weiße Linie, die angeblich die Hormonkonzentration anzeigen soll, kann man getrost abschalten - sie sagt nichts aus. Da die Hormonmenge ortsunabhängig ist, weiß man immerhin, dass die zugehörige Kurve eine parallele Linie zur Wachstumskante bildet. Diese sollte sich dann nahezu periodisch auf- und abbewegen.

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