4. Mathematisches Modell
Ziel ist es, die ortsabhängigen Schwächungskoeffizienten eines Querschnitts
des zu untersuchenden Objektes zu bestimmen. Deshalb reicht es aus, die Einschränkung
von
auf die Querschnittsebene zu betrachten. Der ortsabhängige Schwächungs-
koeffizient des Querschnitts kann also durch eine zweidimensionale Absorptionsfunktion
:
2 -->
,
L2. (3)
beschrieben werden. Die Funktion lässt sich nun durch den Intensitätsverlust der
Röntgenstrahlung durch Absorption bei Durchleuchtung des Objekts aus vielen verschiedenen
Richtungen bestimmen. Dazu rotieren Röntgenquellen und Detektoren
in der Querschnittsebene um das Objekt und durchstrahlen es mit parallel ausgesandten
Röntgenstrahlen (vgl. Abb. 4). Je nach Konstruktion des Computertomographen sind auch
fächerförmig ausgesandte Röntgenstrahlen üblich. Im Folgenden
gehen wir aber von einer parallelen Durchstrahlung aus, wobei die hier beschriebene Methode
zur Bestimmung der Absorptionsfunktion (3) auch für fächerförmig
ausgesandte Röntgenstrahlen mit leichten Modifikationen gültig ist.
Abbildung 4. Prinzipieller Aufbau eines Computertomographen.
Die Apparatur rotiere in n gleichverteilten Schritten zwischen
min und
max
und jedes Strahlenbündel bestehe aus nP gleichverteilten Strahlen zwischen
Pmin und Pmax (vgl. Abb. 5).
Die Messungen mit dieser Geometrie liefern m := n nP Werte der
Linienintegrale (2) über die linearen Abschwächungskoeffizienten entlang der Geradenstücke
Lj; j = 1,...,m, von den Quellen zu den Detektoren. Bezeichnen wir mit
Quellej und Detektorj die durch das j-te Geradenstück
Lj verbundenen Quellen und Detektoren, j = 1,...,m, und mit
IQuellej bzw. IDetektorj die zugehörigen
Intensitäten, so gilt nach (2)
IDetektorj = IQuellej | exp(- | ![]() |
Lj | ![]() |
(x)dx). |
Äquivalent dazu ist
ln | IDetektorj | = - | ![]() |
Lj | ![]() |
(x)dx | . |
IQuellej |
Zur Rekonstruktion der linearen Abschwächungskoeffizienten müssen wir das Integralgleichungssystem
![]() |
Lj | ![]() |
(x)dx) = bj, j = 1,...m. (3) |
lösen. Dabei sind die bj die experimentell ermittelten Werte:
bj = -ln | IDetektorj | . |
IQuellej |
Durch Streuung der Strahlung im Objekt sind die experimentell ermittelten Werte
in der Praxis allerdings noch mit einer Störung behaftet.
Gleichung (4) ist die Radontransformation (vgl. [12]) der Funktion . Bei (geeignet gewählten)
unendlich vielen Strahlen ist
eindeutig durch die rechten Seiten
bestimmt; bei endlich vielen Strahlen lässt sich
nur approximativ bestimmen. Umkehrformeln sind zwar bekannt (vgl. zum Beispiel [11]),
jedoch für den mit diesem Projekt angesprochenen Schüler- und Studierendenkreis ohne weitere Vorbereitung
schwierig zu handhaben. Im nächsten Abschnitt stellen wir daher eine numerische
(approximative) Lösung von (4) für endlich viele Strahlen vor, die für die Praxis
ausreichend genaue Näherungslösungen liefert.
Auszüge aus dem Artikel "Mathematik fürs Leben am Beispiel der
Computertomographie"
Autoren: Marlis Hochbruck · Jörg-M. Sautter