Lösung des Differentialgleichungssystems

An dieser Stelle soll nicht in die Materie eingedrungen werden. Mathematisch Interessierte sollen Hinweise erhalten und Stichworte finden, mit welchen sie sich in der Literatur gezielt über Problemstellung und angewandtes Verfahren kundig machen können.

Die allgemeine Form des Differentialgleichungssystems, das den Simulationen des Applets zugrunde liegt, lautet:

Für die Umsetzung in ein Muster muss dieses System gelöst werden. Mit Lösung ist dabei die numerische Lösung gemeint: Die Werte der Koordinatenfunktionen a_i werden für eine Menge vorgegebener Stellen (Ort x und Zeit t) näherungsweise bestimmt.

Genauer betrachtet liegt ein autonomes Anfangs-Randwert-Problem vor. Die Randbedingungen ergeben sich aus der Forderung, dass nichts aus dem betrachteten Bereich abfließen darf: die ersten Ableitungen müssen also am linken wie rechten Rand verschwinden. Die (nahezu) einheitliche Grundsituation mit ihren leichten Störungen, die zur Initiierung des musterbildenden Prozesses führen, werden durch die Anfangsbedingungen (die Stoffmengen zur Zeit t = 0) beschrieben.

Die Numerische Mathematik kennt eine Vielzahl von Methoden, mit welchen sich eine numerische Lösung bestimmen ließe. Für die Simulationen des Applets wurde auf die Linienmethode und das explizite (klassische) Runge-Kutta-Verfahren zurückgegriffen. Bei allen am System beteiligten Differentialgleichungen findet sich links des Gleichheitszeichens stets die erste Ableitung einer Koordinatenfunktion nach der Zeit. Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens finden sich hingegen ausschließlich (zweite) Ableitungen nach der Ortsvariable. Teilt man das Intervall, in welchem sich die Ortsvariable x bewegen soll, äquidistant (Abstand = Maschenweite) ein und ersetzt dann die zweiten Ableitungen nach x durch Differenzenquotienten zweiter Ordnung, erhält man zu jeder der ausgewählten x-Stellen eine Differentialgleichung in t. Das ursprüngliche partielle Differentialgleichungssystem wurde dadurch in ein größeres System gewöhnlicher Differentialgleichungen verwandelt. Man spricht bei diesem Vorgehen von der Linienmethode, weil im ursprünglichen x-t-Koordinatensystem nun die Lösungen entlang eines Teils von Halbgeraden (also Linien) senkrecht zur Ortskoordinate x bestimmt werden.
Zur Lösung des Systems gewöhnlicher Differentialgleichungen lässt sich das explizite klassische Runge-Kutta-Verfahren heranziehen. Vom Grundsatz her ist dann jedoch mit Stabilitätsproblemen zu rechnen: Die numerisch ermittelten Werte würden - abhängig von der für das Verfahren gewählten Schrittweite - um die Werte der exakten Lösung oszillieren. Die Umstände, unter welchen es zu den Schwierigkeiten kommen kann, sind bekannt. Eine genaue Analyse der auftretenden Differentialgleichungssysteme zeigt jedoch, dass bei der aus numerischer Sicht angenehmen Wahl Maschenweite = 1 und Schrittweite = 1 keine Probleme zu erwarten sind.

Für die Simulationen des Applets wurden daher alle Lösungen mittels Linienmethode (mit Maschenweite 1) und explizitem klassischem Runge-Kutta-Verfahren (mit Schrittweite 1) ermittelt.

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