1. Einleitung

Von der Bedeutung der Mathematik für alltägliche Probleme haben große Teile der Bevölkerung heute leider nur sehr vage oder sogar völlig falsche Vorstellungen. Viele technische und naturwissenschaftliche Innovationen sind jedoch ohne Mathematik undenkbar.

Am Beispiel der Computertomographie wollen wir die Rolle der Mathematik und die einzelnen Schritte eines Mathematikers auf dem Weg zur Lösung eines Problems aus dem "Leben" exemplarisch darstellen. Offensichtlich ist für solche Probleme interdisziplinäres Arbeiten unabdingbar. Ohne ein Verständnis dessen, was der Mediziner von einer Computertomographie-Rekonstruktion erwartet, ist das Aufstellen eines mathematischen Modells und dessen Lösung nicht sinnvoll; ohne Kenntnisse der physikalischen Prozesse nicht möglich. Daher sind diese Seiten so aufgebaut, dass zunächst das medizinische Problem und dann die zu Grunde liegende Physik vorgestellt werden. Der nächste Schritt ist das Aufstellen eines mathematischen Modells, welches zu einem System von Integralgleichungen (der sogenannten Radon-Transformation) führt. Das hier vorgestellte vereinfachte Modell, welches auf einer finite-Element Diskretisierung basiert, macht aus dem unendlich dimensionalen Problem ein endlich dimensionales Problem, nämlich ein überbestimmtes lineares Gleichungssystem sehr großer Dimension. Aus Kostengründen (Rechenzeit und Speicheraufwand) kann das zugehörige Ausgleichsproblem nur iterativ gelöst werden. Hierzu wird eine Variante des Verfahrens der konjugierten Gradienten angewendet.

Die Seiten sind wie folgt gegliedert: In Abschnitt 2 stellen wir zunächst die Bedeutung der Computertomographie für die Medizin dar und geben Zusammenhänge zu anderen diagnostischen Verfahren wie Röntgen und Magnetresonanztomographie (MRT). Anschließend widmen wir uns der Physik hinter der Computertomographie, um daraus in Abschnitt 4 das mathematische Modell herzuleiten. Die Diskretisierung dieses Modells ist in Abschnitt 5, die numerischen Methoden sind in Abschnitt 6 beschrieben. Ergebnisse der Berechnungen sind in Abschnitt 7 zusammengefasst und Hinweise für die Umsetzung dieser Arbeit als Projekt für Schüler findet man in Abschnitt 8.

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Auszüge aus dem Artikel "Mathematik fürs Leben am Beispiel der Computertomographie"
Autoren: Marlis Hochbruck · Jörg-M. Sautter [Kompletter Artikel (pdf)]